数学问题;设函数f(x)=(x2+1)0.5 -ax,当a属于[1,正无穷)时,试证明函数f(X)在区间[0,正无穷)上是单调减函数.(附注;用单调函数的定义来证明.)
2019-06-02
数学问题;设函数f(x)=(x2+1)0.5 -ax,当a属于[1,正无穷)时,试证明函数f(X)在区间[0,正无穷)上是单调减函数.(附注;用单调函数的定义来证明.)
优质解答
设x1、x2∈[0,+∞),且x1＜x2,故：0＜x1＜x2
故：f(x1)-f(x2)= [(x1)²+1]^0.5 –ax1-[(x2)²+1]^0.5 +ax2
=a(x2-x1)+{√[(1+(x1) ²]-√[(1+(x2) ²]}
= a(x2-x1)+[(x1) ²-(x2) ²]/{√[(1+(x1) ²]+√[(1+(x2) ²]}
=(x2-x1){a-(x1+x2)/ {√[(1+(x1) ²]+√[(1+(x2) ²]}}
因为0＜x1＜x2
故：√[(1+(x1) ²]＞x1,√[(1+(x2) ²]＞x2,x2-x1＞0
故：(x1+x2)/ {√[(1+(x1) ²]+√[(1+(x2) ²]}＜（x1+x2）/(x1+x2)=1
因为a∈[1,+∞),即：a≥1
故：a-(x1+x2)/ {√[(1+(x1) ²]+√[(1+(x2) ²]}＞0
故：f(x1)-f(x2) ＞0
故：函数f(X)在区间[0,+∞)上是单调减函数
设x1、x2∈[0,+∞),且x1＜x2,故：0＜x1＜x2
故：f(x1)-f(x2)= [(x1)²+1]^0.5 –ax1-[(x2)²+1]^0.5 +ax2
=a(x2-x1)+{√[(1+(x1) ²]-√[(1+(x2) ²]}
= a(x2-x1)+[(x1) ²-(x2) ²]/{√[(1+(x1) ²]+√[(1+(x2) ²]}
=(x2-x1){a-(x1+x2)/ {√[(1+(x1) ²]+√[(1+(x2) ²]}}
因为0＜x1＜x2
故：√[(1+(x1) ²]＞x1,√[(1+(x2) ²]＞x2,x2-x1＞0
故：(x1+x2)/ {√[(1+(x1) ²]+√[(1+(x2) ²]}＜（x1+x2）/(x1+x2)=1
因为a∈[1,+∞),即：a≥1
故：a-(x1+x2)/ {√[(1+(x1) ²]+√[(1+(x2) ²]}＞0
故：f(x1)-f(x2) ＞0
故：函数f(X)在区间[0,+∞)上是单调减函数