高中数学问题函数yfx对任意x,y都有f(x+y)=fx+fy+2xy.1,求f(0)的值.2,若f(1)=1,求f2,f3,f4的值,猜想n∈N*时fn的表达式,并用数学归纳证明.
2019-05-23
高中数学问题
函数yfx对任意x,y都有f(x+y)=fx+fy+2xy.
1,求f(0)的值.
2,若f(1)=1,求f2,f3,f4的值,猜想n∈N*时fn的表达式,并用数学归纳证明.
优质解答
(1)令x,y=0,则可得：f（0）=2f（0）
所以f(0)=0
(2)令x,y=1,则：f（2）=f（1）+f（1）+2 =4
令x=1,y=2 则：f（3）=f（1）+f（2）+4 =9
令x=2,y=2 则：f（4）=f（2）+f（2）+8 =16
猜想：f（n）=n^2（n的平方）
证明：当n=1时 f（1）=1 等式成立
假设当n=k时等式成立,即：f（k）=k^2
当n=k+1时
令x=k,y=1则f（k+1）=f（k）+f（1）+2k
= k^2 + 1 + 2k
=(k+1)^2
等式成立.
综上所述,原等式成立.
(1)令x,y=0,则可得：f（0）=2f（0）
所以f(0)=0
(2)令x,y=1,则：f（2）=f（1）+f（1）+2 =4
令x=1,y=2 则：f（3）=f（1）+f（2）+4 =9
令x=2,y=2 则：f（4）=f（2）+f（2）+8 =16
猜想：f（n）=n^2（n的平方）
证明：当n=1时 f（1）=1 等式成立
假设当n=k时等式成立,即：f（k）=k^2
当n=k+1时
令x=k,y=1则f（k+1）=f（k）+f（1）+2k
= k^2 + 1 + 2k
=(k+1)^2
等式成立.
综上所述,原等式成立.