数学
设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N,则当线段MN取得最小值时a的值为.

2019-05-03

设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N,则当线段MN取得最小值时a的值为___
优质解答
∵直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N
∴M(a2,a),N(lna,a)
∴线段MN长l=|a2-lna|
由题意可知a>0,设f(a)=a2-lna,f'(a)=2a-
1
a

令f'(a)>0,a>
2
2
;令f'(a)<0,a<
2
2

故f(
2
2
)为函数f(a)的最小值,并且f(
2
2
)>0
所以a=
2
2
时,线段MN长取得最小值
故答案为:
2
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∵直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N
∴M(a2,a),N(lna,a)
∴线段MN长l=|a2-lna|
由题意可知a>0,设f(a)=a2-lna,f'(a)=2a-
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a

令f'(a)>0,a>
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;令f'(a)<0,a<
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故f(
2
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)为函数f(a)的最小值,并且f(
2
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)>0
所以a=
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时,线段MN长取得最小值
故答案为:
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