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设直线y=a分别与曲线y2=x和y=ex交于点M、N,则当线段MN取得最小值时a的值为.
2019-05-03
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设直线y=a分别与曲线y
2
=x和y=e
x
交于点M、N,则当线段MN取得最小值时a的值为___.
优质解答
∵直线y=a分别与曲线y
2
=x和y=e
x
交于点M、N
∴M(a
2
,a),N(lna,a)
∴线段MN长l=|a
2
-lna|
由题意可知a>0,设f(a)=a
2
-lna,f'(a)=2a-
1
a
令f'(a)>0,a>
2
2
;令f'(a)<0,a<
2
2
故f(
2
2
)为函数f(a)的最小值,并且f(
2
2
)>0
所以a=
2
2
时,线段MN长取得最小值
故答案为:
2
2
∵直线y=a分别与曲线y
2
=x和y=e
x
交于点M、N
∴M(a
2
,a),N(lna,a)
∴线段MN长l=|a
2
-lna|
由题意可知a>0,设f(a)=a
2
-lna,f'(a)=2a-
1
a
令f'(a)>0,a>
2
2
;令f'(a)<0,a<
2
2
故f(
2
2
)为函数f(a)的最小值,并且f(
2
2
)>0
所以a=
2
2
时,线段MN长取得最小值
故答案为:
2
2
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