.依次计算（1-1/4),（1-1/4）（1-1/9）,（1-1/4）（1-1/9）（1-1/16）……的值；根据计算的结果,猜想Tn=（1-1/4）（1-1/9）（1-1/16）…[1-1/(n^2)的表达式,并用数学归纳法加以证明

2019-05-23

优质解答

Tn=(n+1)/2n
证明:第一项
n=2
Tn=3/4=(2+1)/(2*2)
假设Tk满足Tk=(k+1)/2k
那么Tk+1=Tk*[1-1/(k+1)^2]
=[(k+1)/2k]*{[(k+1)^2-1]/[(k+1)^2]}
=(k+1)/2k*(k+2)k/(k+1)^2
=(k+2)/2(k+1)
满足Tn=(n+1)/2n
所以对所有n>1都有Tn=(n+1)/2n. Tn=(n+1)/2n
证明:第一项
n=2
Tn=3/4=(2+1)/(2*2)
假设Tk满足Tk=(k+1)/2k
那么Tk+1=Tk*[1-1/(k+1)^2]
=[(k+1)/2k]*{[(k+1)^2-1]/[(k+1)^2]}
=(k+1)/2k*(k+2)k/(k+1)^2
=(k+2)/2(k+1)
满足Tn=(n+1)/2n
所以对所有n>1都有Tn=(n+1)/2n.