一道高中数学题为了竖一块广告牌,要制造三角形支架ABC.以CB为底边,角ACB为60度,BC长度大于1米,且AC比AB大0.5米,为了广告牌稳固,要求AC越长越好,求AC最短为几米?此时BC几米
2019-06-25
一道高中数学题
为了竖一块广告牌,要制造三角形支架ABC.以CB为底边,角ACB为60度,BC长度大于1米,且AC比AB大0.5米,为了广告牌稳固,要求AC越长越好,求AC最短为几米?此时BC几米
优质解答
设BC=a(a>1),AB=c AC=b,b-c=0.5 c²=a²+b²-2abcos60°
将c=b-0.5代入得(b-0.5)²=a²+b²-ab
化简得b(a-1)=a²-1/4
因为a>1所以a-1>0
所以b=(a²-1/4)/(a-1)=[(a-1)²+2a-2+3/4]/(a-1)
=(a-1)+3/4(a-1)+2={√(a-1)-√[3/4(a-1)]}²+√3+2≥√3+2
当且仅当√(a-1)=√[3/4(a-1)] 即a-1=3/[4(a-1)]时取“=”号
即a=1+(√3)/2时,b有最小值2+√3
所以AC最短为2+√3米,此时BC为1+(√3)/2米
设BC=a(a>1),AB=c AC=b,b-c=0.5 c²=a²+b²-2abcos60°
将c=b-0.5代入得(b-0.5)²=a²+b²-ab
化简得b(a-1)=a²-1/4
因为a>1所以a-1>0
所以b=(a²-1/4)/(a-1)=[(a-1)²+2a-2+3/4]/(a-1)
=(a-1)+3/4(a-1)+2={√(a-1)-√[3/4(a-1)]}²+√3+2≥√3+2
当且仅当√(a-1)=√[3/4(a-1)] 即a-1=3/[4(a-1)]时取“=”号
即a=1+(√3)/2时,b有最小值2+√3
所以AC最短为2+√3米,此时BC为1+(√3)/2米