长为l（l＜1）的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是（ ）A. l2B. l22C. l4D. l24
2019-05-03
长为l（l＜1）的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
优质解答
设A（x1，y1），B（x2，y2），
将A和B分别代入抛物线y2=x得：y12=x1，y22=x2，
又y1y2＜0，
∴x1x2=（y1y2）2，即y1y2=-，
∵抛物线y2=x开口向右，
∴线段AB中点M到y轴的距离为，
由x1+x2≥2，得到当且仅当x1=x2时，取得最小值，
∴此时x1+x2=2，又线段AB的长为l，
∴（x1-x2）2+（y1-y2）2=（y1-y2）2=l2，
即y12+y22-2y1y2=x1+x2+2=2（x1+x2）=l2，
∴x1+x2=l2，
则线段AB中点M到y轴距离的最小值为=．
故选D
设A（x1，y1），B（x2，y2），
将A和B分别代入抛物线y2=x得：y12=x1，y22=x2，
又y1y2＜0，
∴x1x2=（y1y2）2，即y1y2=-，
∵抛物线y2=x开口向右，
∴线段AB中点M到y轴的距离为，
由x1+x2≥2，得到当且仅当x1=x2时，取得最小值，
∴此时x1+x2=2，又线段AB的长为l，
∴（x1-x2）2+（y1-y2）2=（y1-y2）2=l2，
即y12+y22-2y1y2=x1+x2+2=2（x1+x2）=l2，
∴x1+x2=l2，
则线段AB中点M到y轴距离的最小值为=．
故选D