给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离”．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xOy中，点A（-4，3），B（-4，-3），C（4，-3），D（4，3）．（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”．（2）设直线y=

2019-05-03

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给出如下规定：两个图形G₁和G₂，点P为G₁上任一点，点Q为G₂上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G₁和G₂之间的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G₁和G₂之间的“远距离”．
请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：
在平面直角坐标系xOy中，点A（-4，3），B（-4，-3），C（4，-3），D（4，3）．
作业帮

（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”．
（2）设直线y=

4

3

x+b（b>0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1，求它们的“远距离”；
（3）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内．将四边形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是___；“近距离”的最小值是___．

优质解答

（1）如图1所示：

∵由点A、B、C、D的坐标可知；四边形ABCD为矩形．
∴AB与DC之间的近距离为BC或AD的长，近距离=8，AB与DC之间的近距离远距离等于BD或AC的长，远距离=

BC2+CD2

=10．
（2）①当EF在矩形ABCD的内部时．
作业帮

∵线段EF与矩形ABCD的“近距离”=1，
∴线段GF=1．
∴OF=OG-FG=3-1=2．
∴F（0，2）．
∴线段EF与矩形ABCD的“远距离”=FC=

42+52

=

41

．
②当EF在矩形的外部时．如图3所示：过点A作AH⊥EF，垂足为H，延长DA交EF于点N．
作业帮

∵线段EF与矩形ABCD的近距离=1，
∴AH=1．
∴AN=

5

4

．
∴点N的坐标为（-5

1

4

，3）．
将点N的坐标代入y=

4

3

x+b得；

4

3

×(-

21

4

)+b=3，解得b=10．
∴点F的坐标为（0，10）．
∴线段EF的与矩形ABCD的“远距离”=CF=

132+42

=

185

．
综上所述EF与矩形的远距离为

41

或

185

．
（3）如图4所示：当OG⊥AD时，矩形GHMN与矩形ABCD的近距离有最小值，最小值=OE-OG=3-2=1．
作业帮

如图5所示：当点A、G、O在一条直线上时，矩形GHMN与矩形ABCD的远距离有最大值，最大值=OC+OG=5+2=7．
作业帮

故答案为：1；7．（1）如图1所示：
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