已知函数f(x)的定义域为(0,正无穷),当x大于1时,f(x)小于0,且对任意正实数x,y,满足f(y分之x)等于f(x)-f(y) 1.求f(1) 2.证明f(x)在定义域上是减函数 3.如果f(3分之1)等于1,求满足不等式f(x-2)-2大于等于f(x)的取值范围.
2019-06-02
已知函数f(x)的定义域为(0,正无穷),当x大于1时,f(x)小于0,且对任意正实数x,y,满足f(y分之x)等于f(x)-f(y) 1.求f(1) 2.证明f(x)在定义域上是减函数 3.如果f(3分之1)等于1,求满足不等式f(x-2)-2大于等于f(x)的取值范围.
优质解答
(1)因为f(y分之x)=f(x)-f(y)
所以f(1)=f(2/2)=f(2)-f(2)等于0
（2）因为f(1)=0而x大于1时,f(x)小于0
所以x小于1时,f(x)大于0
设任意X1,X2属于(0,正无穷)且X1小于X2
则 f(X1)-f(X2)=f(X1/X2)
因为X1小于X2且X1,X1大于0
所以X1/X2大于0小于1
所以f(X1/X2)大于0
所以f(X1)大于f(X2)
所以f(x)在定义域上是减函数
（3）因为f(1/3)=f(1)-f(3)=1
f(1)=0
所以f(3)=-1
所以-f(3)=1=f(1/3)
又因为f(x-2)-2大于等于f(x)
f(x-2)-f(x)大于等于2
f(（x-2）/x)大于等于2
因为f(3)=-1
所以-2f(3)=2
所以f(（x-2）/x)大于等于-2f(3)
f(（x-2）/x)大于等于f(2/3)
f(（x-2）*3/x*2)大于等于0
因为x小于等于1时,f(x)大于等于0
所以（x-2）*3/x*2小于等于1
3X-6小于等于2X
X小于等于6
(1)因为f(y分之x)=f(x)-f(y)
所以f(1)=f(2/2)=f(2)-f(2)等于0
（2）因为f(1)=0而x大于1时,f(x)小于0
所以x小于1时,f(x)大于0
设任意X1,X2属于(0,正无穷)且X1小于X2
则 f(X1)-f(X2)=f(X1/X2)
因为X1小于X2且X1,X1大于0
所以X1/X2大于0小于1
所以f(X1/X2)大于0
所以f(X1)大于f(X2)
所以f(x)在定义域上是减函数
（3）因为f(1/3)=f(1)-f(3)=1
f(1)=0
所以f(3)=-1
所以-f(3)=1=f(1/3)
又因为f(x-2)-2大于等于f(x)
f(x-2)-f(x)大于等于2
f(（x-2）/x)大于等于2
因为f(3)=-1
所以-2f(3)=2
所以f(（x-2）/x)大于等于-2f(3)
f(（x-2）/x)大于等于f(2/3)
f(（x-2）*3/x*2)大于等于0
因为x小于等于1时,f(x)大于等于0
所以（x-2）*3/x*2小于等于1
3X-6小于等于2X
X小于等于6