已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*都有Sn=2an-n，（1）求数列{an}的前三项a1，a2，a3，（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
2019-05-23
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*都有Sn=2an-n，
（1）求数列{an}的前三项a1，a2，a3，
（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
优质解答
（1）令n=1，S1=2a1-1．∴a1=1
又Sn+1=2an+1-（n+1），Sn=2an-n，
两式相减得，an+1=2an+1-2an-1，∴an+1=2an+1
∴a2=3，a3=7
（2）猜想an=2n-1
证明如下：①由（1）知，n=1时，结论成立；
②设n=k时，结论成立，即ak＝2k−1
则n=k+1时，ak+1＝2ak+1＝2(2k−1)+1=2k+1-1
即n=k+1时，结论成立
由①②可知，猜想成立．
（1）令n=1，S1=2a1-1．∴a1=1
又Sn+1=2an+1-（n+1），Sn=2an-n，
两式相减得，an+1=2an+1-2an-1，∴an+1=2an+1
∴a2=3，a3=7
（2）猜想an=2n-1
证明如下：①由（1）知，n=1时，结论成立；
②设n=k时，结论成立，即ak＝2k−1
则n=k+1时，ak+1＝2ak+1＝2(2k−1)+1=2k+1-1
即n=k+1时，结论成立
由①②可知，猜想成立．