数学
已知数列an=8n(2n−1)2×(2n+1)2（n∈N*），其前n项和为Sn．经计算得：S1=89，S2=2425，S3=4849，S4=8081．（Ⅰ）观察上述结果，猜想计算Sn的公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明所提猜想．

2019-05-23

已知数列an=
8n
(2n−1)2×(2n+1)2
（n∈N*），其前n项和为Sn．经计算得：S1=
8
9
，S2=
24
25
，S3=
48
49
，S4=
80
81
．
（Ⅰ）观察上述结果，猜想计算Sn的公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明所提猜想．
优质解答
（Ⅰ）猜想：Sn=
(2n+1)2−1
(2n+1)2
(n∈N*)．…．…..（2分）
（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左=S1＝
8
9
，右=
32−1
32
＝
8
9
，猜想成立．…．…..（3分）
（2）假设当n=k时猜想成立，即Sk=
(2k+1)2−1
(2k+1)2
(k∈N*)．…．…..（4分）
那么 Sk+1=Sk+ak+1=
(2k+1)2−1
(2k+1)2
+
8(k+1)
(2k+1)2×(2k+3)2
…．…..（5分）=
[(2k+1)2−1](2k+3)2+8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
＝
(2k+1)2(2k+3)2−(2k+3)2+8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
=
(2k+1)2(2k+3)2−(2k+1)2
(2k+1)2(2k+3)2
＝
(2k+3)2−1
(2k+3)2
．…．…..（7分）
即当n=k+1时猜想也成立．
根据（1）和（2）可知，猜想对∀n∈N*都成立．…．…..（8分） （Ⅰ）猜想：Sn=
(2n+1)2−1
(2n+1)2
(n∈N*)．…．…..（2分）
（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左=S1＝
8
9
，右=
32−1
32
＝
8
9
，猜想成立．…．…..（3分）
（2）假设当n=k时猜想成立，即Sk=
(2k+1)2−1
(2k+1)2
(k∈N*)．…．…..（4分）
那么 Sk+1=Sk+ak+1=
(2k+1)2−1
(2k+1)2
+
8(k+1)
(2k+1)2×(2k+3)2
…．…..（5分）=
[(2k+1)2−1](2k+3)2+8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
＝
(2k+1)2(2k+3)2−(2k+3)2+8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
=
(2k+1)2(2k+3)2−(2k+1)2
(2k+1)2(2k+3)2
＝
(2k+3)2−1
(2k+3)2
．…．…..（7分）
即当n=k+1时猜想也成立．
根据（1）和（2）可知，猜想对∀n∈N*都成立．…．…..（8分）
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