已知函数f(X)=a分之一减去x分之一(a大于0) （1）证明f(x)在（0,正无穷）上单调递增；（2）若f(X)的定义域、值域都是[0.5,2],求实数a的值.
2019-06-02
已知函数f(X)=a分之一减去x分之一(a大于0) （1）证明f(x)在（0,正无穷）上单调递增；
（2）若f(X)的定义域、值域都是[0.5,2],求实数a的值.
优质解答
（1）证明：设X2＞X1＞0则：f(X2)-f(X1)=(1/a-1/X2)-(1/a-1/X1)=1/X1-1/X2=(X2-X1)/X1X2
因为X2＞X1＞0,所以f(X2)-f(X1)=(X2-X1)/X1X2＞0.所以f(x)在（0,+∞）上单调递增.
因为f(X)在（0,+∞）上单调递增,且f(X)的定义域、值域都是[0.5,2],所以
当X取最小值时,Y为最小值,即当X=0.5时Y=0.5,代入表达式可得：a=2/5
（1）证明：设X2＞X1＞0则：f(X2)-f(X1)=(1/a-1/X2)-(1/a-1/X1)=1/X1-1/X2=(X2-X1)/X1X2
因为X2＞X1＞0,所以f(X2)-f(X1)=(X2-X1)/X1X2＞0.所以f(x)在（0,+∞）上单调递增.
因为f(X)在（0,+∞）上单调递增,且f(X)的定义域、值域都是[0.5,2],所以
当X取最小值时,Y为最小值,即当X=0.5时Y=0.5,代入表达式可得：a=2/5