数学
已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0．又f（xy）=f（x）+f（y）．（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在定义域上是单调增函数；（3）如果f(13)=-1，求满足不等式−f(1x−2)≥2的x的取值范围．

2019-06-02

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0．又f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在定义域上是单调增函数；
（3）如果f(
1
3
)=-1，求满足不等式−f(
1
x−2
)≥2的x的取值范围．
优质解答
（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）设x2＞x1＞0，
f（x2）-f（x1）=f（
x2
x1
•x1）-f（x1）=f（
x2
x1
）+f（x1）-f（x1）=f（
x2
x1
），
∵
x2
x1
＞1，
∴f（
x2
x1
）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在定义域上是增函数；
（3）∵f（
1
3
）=f（1）-f（3）=-f（3）=-1，
∴f（3）=1，
∴f（9）=f（3）+f（3）=2，
令y=
1
x
，得f（1）=f（x）+f（
1
x
）=0，
∴f（
1
x
）=-f（x），
∴-f（
1
x−2
）=f（1）-f（
1
x−2
）=f（x-2）≥2=f（9），f（x）在定义域上是增函数，
∴x-2≥9，
解得：x≥11．
∴x的取值范围为[11，+∞）． （1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）设x2＞x1＞0，
f（x2）-f（x1）=f（
x2
x1
•x1）-f（x1）=f（
x2
x1
）+f（x1）-f（x1）=f（
x2
x1
），
∵
x2
x1
＞1，
∴f（
x2
x1
）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在定义域上是增函数；
（3）∵f（
1
3
）=f（1）-f（3）=-f（3）=-1，
∴f（3）=1，
∴f（9）=f（3）+f（3）=2，
令y=
1
x
，得f（1）=f（x）+f（
1
x
）=0，
∴f（
1
x
）=-f（x），
∴-f（
1
x−2
）=f（1）-f（
1
x−2
）=f（x-2）≥2=f（9），f（x）在定义域上是增函数，
∴x-2≥9，
解得：x≥11．
∴x的取值范围为[11，+∞）．
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