一道关于三角函数的高一数学题.如有正解必额外重谢.已知f(θ)=sin^2θ+sin^2(α+θ)+sin^2(θ+β),其中α,β为常数,且满足0≤α≤β≤π,是否存在这样的α,β,使f(θ)与θ的定值无关?若无请说明理由,若有请求出α,β.注:sin^2θ是指sinθ的平方的意思.请大家尽快答复.
2019-06-25
一道关于三角函数的高一数学题.如有正解必额外重谢.
已知f(θ)=sin^2θ+sin^2(α+θ)+sin^2(θ+β),其中α,β为常数,且满足0≤α≤β≤π,是否存在这样的α,β,使f(θ)与θ的定值无关?若无请说明理由,若有请求出α,β.
注:
sin^2θ是指sinθ的平方的意思.
请大家尽快答复.
优质解答
f(θ)=sin^2θ+(sinθcosα+cosθsinα)^2+(sinθcosβ+cosθsinβ)^2
=sin^2θ+sin^2α*cos^2θ+cos^2α*sin^2θ+2sinθcosθsinαcosα+
sin^2θ*cos^2β+cos^2θ*sin^2β+2sinθcosθsinβcosβ
=sin^2θ(1+cos^2α+cos^2β)+cos^2θ(sin^2α+sin^2β)+2sinθcosθcos(α-β)
所以1+cos^2α+cos^2β=sin^2α+sin^2β,cos(α-β)=0
因为0≤α≤β≤π
所以β=α+π/2
α,β无解
f(θ)=sin^2θ+(sinθcosα+cosθsinα)^2+(sinθcosβ+cosθsinβ)^2
=sin^2θ+sin^2α*cos^2θ+cos^2α*sin^2θ+2sinθcosθsinαcosα+
sin^2θ*cos^2β+cos^2θ*sin^2β+2sinθcosθsinβcosβ
=sin^2θ(1+cos^2α+cos^2β)+cos^2θ(sin^2α+sin^2β)+2sinθcosθcos(α-β)
所以1+cos^2α+cos^2β=sin^2α+sin^2β,cos(α-β)=0
因为0≤α≤β≤π
所以β=α+π/2
α,β无解